(x^2+1/x)^4

\(=C^0_4\cdot\left(x^2\right)^4+C^1_4\cdot\left(x^2\right)^3\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)+C^2_4\cdot\left(x^2\right)^2\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^2+C^3_4\cdot\left(x^2\right)^1\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^3+C^4_4\cdot\left(x^2\right)^0\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^4\)

=x^8+4x^5+6x^3+4/x+1/x^4

Đáp án C

Ta có P ( x ) = 1 + 2 x 12 = ∑ k = 0 12 C 12 k 1 12 - k = ∑ k = 0 12 C 12 k 2 k x k .

Gọi a k = C 12 K 2 K , 0 ≤ k ≤ 12 , k ∈ ℕ  là hệ số lớn nhất trong khai triển.

Suy ra a k ≥ a k + 1 a k ≥ a k - 1 ⇔ c 12 k 2 k ≥ c 12 k + 1 2 k + 1 c 12 k 2 k ≥ c 12 k - 1 2 k - 1  

⇔ 12 ! 12 - k ! k ! . 2 k ≥ 12 ! 11 - k ! k + 1 ! . 2 k + 1 12 ! 12 - k ! k ! . 2 k ≥ 12 ! 13 - k ! k + 1 ! . 2 k - 1 ⇔ 1 12 - k ≥ 2 k + 1 1 k ≥ 1 2 13 - k

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển đã cho là a 8 = 2 8 c 12 8 = 126720 .

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n\)

\(\Leftrightarrow x\left(1+x\right)^n=C_n^0x+C_n^1x^2+C_n^2x^3+...+C_n^nx^{n+1}\)

Đạo hàm 2 vế:

\(\left(1+x\right)^n+nx\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^0+2C_n^1x+3C_n^2x^2+...+\left(n+1\right)C_n^nx^n\)

Thay \(x=1\)

\(\Rightarrow2^n+n.2^{n-1}=1+2C_n^1+3C_n^2+...+\left(n+1\right)C_n^n\)

\(\Rightarrow2^{n-1}\left(2+n\right)-1=111\)

\(\Rightarrow2^{n-1}\left(2+n\right)=112=2^4.7\)

\(\Rightarrow n=5\)

\(\left(x^2+\dfrac{2}{x}\right)^5=\sum\limits^5_{k=0}C_5^kx^{2k}.2^{5-k}.x^{k-5}=\sum\limits^5_{k=0}C_5^k.2^{5-k}.x^{3k-5}\)

\(3k-5=4\Rightarrow k=3\Rightarrow\) hệ số: \(C_5^3.2^2\)

ta có : \(\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}\right)^{12}=\sum\limits^{12}_{k=0}C^k_{12}\left(\dfrac{x}{3}\right)^{12-k}.\left(-1\right)^k\left(\dfrac{3}{x}\right)^k\)

\(=\sum\limits^{12}_{k=0}C^k_{12}\left(-1\right)^k\dfrac{\left(x\right)^{12-2k}}{3^{12-2k}}\)

\(\Rightarrow\) để có số hạng chứa \(x^4\) thì \(12-2k=4\Leftrightarrow k=4\)

\(\Rightarrow\) hệ số của số hạng chứa \(x^4\) là : \(\dfrac{C^4_{12}\left(-1\right)^4}{3^4}=\dfrac{55}{9}\)

vậy ............................................................................................................

Ta có:

\({(2x + 3)^5} = 32{x^5} + 240{x^4} + 720{x^3} + 1080{x^2} + 810x + 243\)

Hệ số của \({x^3}\) là 720

Hệ số của \({x^4}\) là 240.  

Vậy  hệ số của \({x^3}\) lớn hơn hệ số của \({x^4}\).